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数T 図形;タイトルNO.41951
    さき∀^ 11/23(日) 11:09 IP:210.153.84.36 削除依頼
1辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする。この球Oは、点Aを頂点とし、底面が△BCD上にある円錐Pにも内接しているという。この時、次のものを求めよ。
(1)正四面体ABCDの体積
(2)球Oの半径
(3)円錐Pの底面の半径

全く分かりません(*>ェ<*)
答えに解説載ってないので
分かる人教えてください!
お願いします(νдν)ゞ

NO.1 さき∀^ 11/23(日) 21:26 IP:210.136.161.47 削除依頼
あげ(*>ェ<*)
お願いします!

NO.2 さき 11/24(月) 11:49 IP:210.153.84.33 削除依頼
お願いします(*>ェ<*)

NO.3 jasper 11/24(月) 17:11 IP:219.121.199.233 削除依頼
(1)正四面体ABCDの体積
底面の△BCDの面積は、
一辺がaの正三角形の面積なので、
a×(√3/2)a×(1/2)=(√3/4)a^2

また高さhは三平方の定理を利用して
(√3/3a)^2+h^2=a^2
h>0よりh=(√6/3)a

∴この正四面体の体積Vは、
V=√3/4)a^2×(√6/3)a×(1/3)
V=(√2/12)a^3

(2)球Oの半径
内接する球Oの中心から4面への距離r(=内接円の半径)
はすべて等しい
また、中心から各頂点へ補助線を引くと、
体積の等しい4つの三角錐にわけることができる。
その4つの三角錐の高さがrであり、
4つの三角錐の体積をたすと(1)で求めた正四面体の体積であるので、

(√3/4)×r×(1/3)×4=(√2/12)a^3
r=(√6/12)a

(3)
答えは(1/√12)aかなと思いますがよいやり方がわかりません…。
今時間がなくなったので、また考えてみます。

NO.4 11/29(土) 22:55 IP:210.136.161.54 削除依頼
遅くなって
すいません;
ありがとう
ございます!
(2)まで理解
できました^^

(3)もお願いします(νдν)

NO.5 jasper [MAIL] 11/29(土) 23:05 IP:219.121.199.233 削除依頼
どういたしまして☆

(3)の答えは
(1/√12)aか
それを有理化した(√3/6)a
であってますか?

あのあとちょっと考えてたんですが、
いいやり方を思いつかなくて…

NO.6 11/30(日) 11:00 IP:210.153.84.43 削除依頼
(√3/6)aで
あってます\(^O^)/

そうなんですか...

NO.7 11/30(日) 22:29 IP:210.136.161.149 削除依頼
あげます(*>ェ<*)

NO.8 jasper [MAIL] 12/01(月) 01:49 IP:219.121.199.233 削除依頼
円錐の軸を含む平面で円錐と球を切り、
その切断面を書いて考えます。

この切断面において、
球の中心をO、円錐の頂点をA、
円錐底面の直径に当たる部分をEF
球と円錐底面の接点をP、
球とAEとの接点をQとします。

このとき△AOQ∽△AEPより
AO:OQ=AE:EP

APは正四面体の高さと等しいので(√6/3)a
OP(=OQ)は球の半径なので(√6/12)a
AO=AP-OP=(√6/4)a
AO:OQ=(9√6/4)a:(√6/12)a=3:1
∴AE:EP=3:1

EP=xとすると、AE=3x
△AEPにおいて三平方の定理より
EP^2+AP^2=AE^2
x^2+{(√6/3)a}^2=(3x)^2
8x^2=(2/3)a^2
x^2=(1/12)a^2
x>0より
x=(1/√12)a
これを有理化して
x=(√3/6)a

という解き方でどうですか?!

NO.9 jasper 12/01(月) 02:03 IP:219.121.199.233 削除依頼
↑【訂正】

×AO:OQ=(9√6/4)a:(√6/12)a=3:1
○AO:OQ=(√6/4)a:(√6/12)a=3:1

∴AE:EP=3:1

NO.10 さき 12/01(月) 14:50 IP:210.136.161.147 削除依頼
ありがとう
ございます!!!!
理解できました
(νдν)ゞ

本当にありがとう
ございました(^O^)

NO.11 jasper [MAIL] 12/01(月) 16:12 IP:203.148.105.247 削除依頼
なかなか解き応え(?)のある
問題でしたね。
何の問題なのかな?

わかってもらえてよかったです☆

NO.12 さき 12/01(月) 18:21 IP:210.153.84.35 削除依頼
クリアーっていう
問題集の問題です^^

NO.13 jasper [MAIL] 12/01(月) 21:32 IP:219.121.194.47 削除依頼
わざわざありがとう!
クリアーなんですね〜
あなどれないなぁ^^;
こちらも勉強になりました。

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