数学B　空間ベクトル続き★至急勉強教えて！（高校生）｜ふみコミュ！投稿広場かわいいも勉強も頑張る女子中学生・女子高校生サイト

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数学B　空間ベクトル続き★至急

タイトルNO.42072

　　　　奈央 11/27(木) 20:08 IP:59.84.102.150 削除依頼

四面体ABCDにおいて次のことが成り立つ。
AC⊥BDならばAD^2＋BC^2＝AB^2＋CD^2
このことをベクトルを用いて証明せよ。

この問題なんですけど
線分の長さの2乗ををベクトルの内積で表す
とヒントが書いてあったんですけど
全然分からないので下の続きを
教えてください。お願いします。
－－－－－－－
AB↓＝b↓、AC↓＝c↓、AD↓＝d↓とする

NO.1 i.te.cog 11/27(木) 21:22 IP:221.246.129.19 削除依頼

素直に変形していくだけで解けます。

AC⊥BDのとき、c・(d-b)=0　∴c・d=b・c
左辺=|d|^2+(c-b)^2=|d|^2+|c|^2-2b・c+|b|^2
右辺=|b|^2+(d-c)^2=|b|^2+|d|^2-2c・d+|c|^2

NO.2 奈央 11/27(木) 21:49 IP:59.84.102.150 削除依頼

ご回答ありがとうございます。
上のは分かったのですが
下が分からないです。
左辺はAC↓のことで
右辺がBD↓のことなのでしょうか？

あと最後に証明するときは
どういう風に証明したら良いか
分からないので宜しければ
教えてください。
質問ばかりですいません。

NO.3 i.te.cog 11/27(木) 22:54 IP:221.246.129.19 削除依頼

少し言葉足らずでしたね。
まとめてみます。(ベクトル記号は省略)

AC⊥BDのとき、
AC・BD = AC・(AD-AB) = c・(d-b) = 0　∴c・d-b・c = 0
AD^2+BC^2 = AD^2+(AC-AB)^2
= |d|^2+(c-b)^2 = |d|^2+|c|^2-2b・c+|b|^2
AB^2+CD^2 = AB^2+(AD-AC)^2
= |b|^2+(d-c)^2 = |b|^2+|d|^2-2c・d+|c|^2
よって、上式から下式を引くと、
(AD^2+BC^2)-(AB^2+CD^2) = 2(c・d-b・c) = 0
∴AD^2+BC^2 = AB^2+CD^2

NO.4 奈央 11/29(土) 13:32 IP:59.84.102.150 削除依頼

返事遅くなってすみません。
私、全然違うこと
書いてましたｗ
ありがとうございます。
しっかり理解できました。

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