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微積 代数タイトルNO.42104
    さくら 11/28(金) 21:58 IP:219.103.8.74 削除依頼
http://imagepot.net/view/122787708058.jpg
微積
なぜ、2になるのかよく分かりません;

http://imagepot.net/view/122787707854.jpg
代数
答えがあわないので何方かヒント、解説お願いしますm( _ _ )m

NO.1 GFK 11/28(金) 22:10 IP:123.230.2.241 削除依頼
> http://imagepot.net/view/122787708058.jpg
教科書等で log の定義を見直してみてください。省略した場合、底 は e です。


> http://imagepot.net/view/122787707854.jpg
ふたつの行列([3 3] [3 5]), ([1 2] [2 3])には逆行列があることを確かめて、それをかけて
    A = ・・・
となるようにします。一般に、行列の積では交換法則が成り立たないことに注意です。

NO.2 11/29(土) 22:00 IP:219.103.8.74 削除依頼
GFKさん
レスありがとうございます。

logの定義が教科書に載ってません;
先生が授業中言ってた気がするんですけど、よく分かってないです。


代数も解けません;
([-21/6 13/6] [5/2 -3/2])
が計算したら出たんですが、間違ってますかね?

A = ・・・
というのが分からないです;

すみません。

NO.3 11/29(土) 22:15 IP:219.103.8.74 削除依頼
logの定義思い出しましたm( _ _ )m

NO.4 11/29(土) 22:23 IP:219.103.8.74 削除依頼
定積分

http://imagepot.net/view/122796490680.jpg

の-1をなぜ+として考えるのかが分かりません。
解説お願いします。

NO.5 GFK 11/29(土) 22:30 IP:123.230.2.241 削除依頼
・前半
数II の教科書を参照してください。log[a](x) で 底が a である x の対数、と表記することにします。
(ややこしいですが・・・掲示板ではしょうがないので)

    log[2](8) = log[2](2^3) = 3
というのと同じことです。

    log(e^2) = log[e](e^2) = 2 (※ 底 は e)
などとなります。


・後半
逆行列自体はもう学習ずみですよね? 二つの行列([3 3] [3 5]), ([1 2] [2 3])の逆行列を投稿して見て
ください。
    ([3 3] [3 5])^(-1) = ?
    ([1 2] [2 3])^(-1) = ?

NO.6 GFK 11/29(土) 22:37 IP:123.230.2.241 削除依頼
ん、行き違い。そうわらわら質問されると進行がわけワカメなんで、上二つが終わったら回答します。

NO.7 11/29(土) 22:38 IP:219.103.8.74 削除依頼
GFKさん

レスありがとうございます。

http://imagepot.net/view/122796589703.jpg

↑のようになりました。

NO.8 GFK 11/29(土) 22:48 IP:123.230.2.241 削除依頼
どちらも OK ですよ! 逆行列がもとまったので、もとの
    ([3 3] [3 5])A([1 2] [2 3]) = ([3 5] [4 6])
の式の両辺に
    ([3 3] [3 5])^(-1) は左から
    ([1 2] [2 3])^(-1) は右から
かけて見てください。

    A = ・・・
という式になることがわかるはずです。

NO.9 11/29(土) 23:13 IP:219.103.8.74 削除依頼
GFKさん

できました!!(*´ω`*)
教えてくださってありがとうございますm( _ _ )m

NO.10 GFK 11/29(土) 23:21 IP:123.230.2.241 削除依頼
ほんじゃ次 >>4

「- と考える」って言う表現は聞いたことがないかも・・・ 奇関数/偶関数の定積分についてでしょう
が、先生がそういう風に言ってるんでしょうか?

ここでは
    ∫[-c → c](奇関数) = 0
    ∫[-c → c](偶関数) = 2∫[0 → c](偶関数)
という性質を使いたいわけですが、定数関数は偶関数(y 軸対称)だからです。偶関数 の定義を
確かめて↓
    f(x) = 1 において f(x) = f(-x)
からわかりますし、「1 = x^0(0次、0は偶数)」というように解釈してもいいです。

NO.11 11/29(土) 23:32 IP:219.103.8.74 削除依頼
GFKさん

勝手に私が「なんで-なんだろう」と考えていて、
「- と考える」と表現してしまっただけです;

理解できました。
基本を忘れてました;

ありがとうございます。

NO.12 GFK 11/29(土) 23:35 IP:123.230.2.241 削除依頼
了解しました。ではでは

NO.13 11/29(土) 23:51 IP:219.103.8.74 削除依頼
証明が苦手です;
何方か解答・解説お願いしますm( _ _ )m

http://imagepot.net/view/122797022130.jpg

NO.14 GFK 11/30(日) 00:05 IP:123.230.2.241 削除依頼
まだ、あるんじゃん・・・ 何回聞いても大丈夫ですよ

この計算(積)に意味があるのは、A が正方行列のときであることを言って、
    A = (a_ij)
    E = ([1 0 ... 0] [0 1 ... 0] ・・・ [0 ... 0 1])
とおいて、それぞれを実際に計算し比較すればよいです。学校で 2*2 行列しか扱ってなかったら
    A = ([a c] [b d])
    E = ([1 0] [0 1])
とすればよいです。

NO.15 GFK 11/30(日) 00:18 IP:123.230.2.241 削除依頼
作った証明は、タイプして投稿するなり、画像でアップするなりしてくれれば見ます。

NO.16 11/30(日) 14:47 IP:219.103.8.74 削除依頼
テスト前なので、
分からない問題があったら投稿すると思います;


GFKさん

http://imagepot.net/view/122802391273.jpg

http://imagepot.net/view/122802391090.jpg

教科書を参考に書きました。
教科書の証明だと、aの隣に数字が書いてありますけど、あまり深い意味はないですか?
なんで11から始まるんだろうとか思ってしまうのですが;


なんか、馬鹿げた質問だったらすみません;

NO.17 11/30(日) 14:59 IP:219.103.8.74 削除依頼
●偶関数、奇関数の性質を用いて、次の定積分を求めよ。

http://imagepot.net/view/122802466250.jpg

途中式を見ても理解できません;
解説お願いしますm( _ _ )m

NO.18 11/30(日) 16:43 IP:219.103.8.74 削除依頼
●次の定積分を求めよ。
http://imagepot.net/view/122803074198.jpg
計算しても1/3log3になりません;
解説お願いします。

NO.19 GFK 11/30(日) 16:49 IP:123.230.2.241 削除依頼
>>16
教科書、同じ命題中、同一記号で単位行列変えるなよ・・・。いいけど、あんま関心しないなあ〜
2*2 行列についてはそれで ok です。
-----

(a_ij) は a_[行]*[列] というつもりで、例えば
    a_23 で、2行3列目(上から2番目、左から3番目)の成分(要素)
をあらわします。行列では一般的な表記になります。一般の m*n 行列では、成分に a, b, c, ・・・ と文字
を割り当てていくと、どこの成分を指してるのかわかりにくいからです。
 同様なことが教科書に書いてないかな?

 一般の場合の証明については下に与えておきます。なれないとワケワカメですが、ただただ積の成分を
計算しているだけなので、ゆっくり追ってみてください。高校ではほぼ 2*2 行列しか扱わないので、その
場合だけできれば充分でしょう。ここで知っておくべきことは、単位行列が数字の「1」のように働くと
いうことです。

NO.20 GFK 11/30(日) 16:52 IP:123.230.2.241 削除依頼
(証明)A = (a_ij) は m*n 行列であるとする。

A の列数は nであるから、A に右から単位行列をかけるとき、それは n 次の単位行列 E_n であり、
ここに
    E_n = (e_ij) , (i=j のとき e_ij = 1, i≠j のとき e_ij = )
    (※ つまり E_n = ([1 0 ... 0] [0 1 ... 0] ・・・ [0 ... 0 1]) )
である。(Eの下に小さい n のつもりで読んでください)

その積 AE_n は m*n行列で、その i 行 j 列の成分は
    Σ[k=1→n](a_ik)(e_kj)
   = (a_i1)(e_1j) + (a_i2)(e_2j) + ・・・ + (a_in)(e_nj) (← 積の成分を実際に計算)
   = a_ij   (← e_jj = 1 の所だけが残る)
すなわち
    AE_n = (a_ij) = A
が成り立つ。

同様に、A の行数は m であるから、A に左から単位行列 E_m をかけるとき、その積 (E_m)A は
m*n 行列で、その i 行 j 列の成分は
    Σ[k=1→m](e_ik)(a_kj)
   = (e_i1)(a_1j) + (e_i2)(a_2j) + ・・・ + (e_in)(a_nj) (← 積の成分を実際に計算)
   = a_ij   (← e_ii = 1 の所だけが残る)
となり
    (E_m)A = (a_ij) = A
が成り立つ。 (証明終)

NO.21 GFK 11/30(日) 17:17 IP:123.230.2.241 削除依頼
終わんないうちに増やさないで〜 笑
>>17
>>10 と同じですが、偶関数/奇関数には次の様な性質があります。これは教科書にあるでしょう。
    (偶関数)*(偶関数) = (偶関数)
    (偶関数)*(奇関数) = (奇関数)
    (奇関数)*(奇関数) = (奇関数)

これらの性質は、h(x) = f(x)g(x), (f(x), g(x) は偶関数)であるとき
    h(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = h(x)
すなわち h(x) は偶関数、などのようにしてわかります。

これに気づかなくても、直接偶奇を調べて、例えば下の積分ならば
    cos(-x)sin^4(-x) = -cos(x)sin^4(x) すなわち「奇関数」なので
    ∫[-π→π]cos(x)sin^4(x)dx = 0
としてもいいでしょう。また、上はちゃんと性質を使ったことになってます。

NO.22 GFK 11/30(日) 17:21 IP:123.230.2.241 削除依頼
打ち間違い
    (偶関数)*(偶関数) = (偶関数)
    (偶関数)*(奇関数) = (奇関数)
    (奇関数)*(奇関数) = (偶関数) ←ここ

NO.23 11/30(日) 17:22 IP:219.103.8.74 削除依頼
GFKさん

レスありがとうございます。
テストでこの証明の問題が出たら、2*2 行列で書いてもいいんですか?

同様のことが教科書に書いてありました;
すみません。

証明難しいです・・;

NO.24 GFK 11/30(日) 17:28 IP:123.230.2.241 削除依頼
ありゃ、だまされた >>21 ぜんぜんあってません。推敲して投稿しなおします。

NO.25 GFK 11/30(日) 17:40 IP:123.230.2.241 削除依頼
>>17
>>10 と同じですが、偶関数/奇関数には次の様な性質があります。これは教科書にあるでしょう。
    (偶関数)*(偶関数) = (偶関数)
    (偶関数)*(奇関数) = (奇関数)
    (奇関数)*(奇関数) = (偶関数)

これらの性質は、h(x) = f(x)g(x), (f(x), g(x) は偶関数)であるとき
    h(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = h(x)
すなわち h(x) は偶関数、などのようにしてわかります。

これに気づかなくても、直接偶奇を調べて、例えば下の積分ならば
    cos(-x)sin^4(-x) = cos(x)sin^4(x) すなわち「偶関数」なので
    ∫[-π→π]cos(x)sin^4(x)dx = 2∫[0→π]cos(x)sin^4(x)dx
としてもいいでしょう。

なので、ちゃんと性質を使ったことになってるよ・・・? 下が 0 になるのが「おかしい」って疑問?
不定積分がわからないんではないですよね?

NO.26 11/30(日) 17:44 IP:219.103.8.74 削除依頼
言葉足らずですみません;

(4)は何故 (1-cos2x)/2
が出てくるのかが分からなくて、

(5)は2[sin^5x/5]にするにはどうすればいいのかが分からないです;
(sinx)'はどうすればいいんでしょうか;

NO.27 GFK 11/30(日) 17:48 IP:123.230.2.241 削除依頼
行列から済ませましょう。

一般の行列での証明は出ないでしょうが、主さんの学校の程度と、先生の考え方次第では出るかも
しれませんね。SSH みたいな学校では出るかも・・・いや、わかりませんけど。

一般も場合は難しいというより、メンドクサイんですよね。縦があーで横がこーで・・・云々

NO.28 11/30(日) 17:49 IP:219.103.8.74 削除依頼
No.18
解けました。
色んな問題解きすぎて、混乱して、
勘違いしていたみたいです;

NO.29 GFK 11/30(日) 19:05 IP:123.230.2.241 削除依頼
次行ってもいいのかな?

>>26
・前半
三角関数の半角の公式を使ってます。cos(2x) = 2cos^2(x)-1 = 1-2sin^2(x) より
    cos^2(x) = {1+cos(2x)}/2
    sin^2(x) = {1-cos(2x)}/2

教科書等では次の形で掲載されてることが多いと思います。こっちの方が「半角」な感じ。
    cos^2(θ/2) = {1+cos(θ)}/2
    sin^2(θ/2) = {1-cos(θ)}/2

これにより次数を下げることができるので、三角関数の微分積分では結構使います。


・後半
置換積分(または合成関数の微分、微分の連鎖律)にそこそこなれてないと、これを一撃で実行する
のは難しいでしょう。

いま、合成関数の微分
    {f(g(x))}' = f'(g(x))・g'(x)
より
    ∫f'(g(x))・g'(x)dx = f(g(x))
が成り立ちます。これは置換積分そのものです。教科書と良く比較してみてください。置換積分自体、
合成関数の微分から導かれるものだからです。

ここで
    f(x) = (1/5)x^5, g(x) = sin(x)
としてみると
    {(1/5)sin^5(x)}' = sin^4(x)・{sin(x)}'
より(※ 微分したら右辺になったので、右辺を積分すればもとに戻る)
    ∫sin^4(x)・{sin(x)}'dx = ∫{(1/5)sin^5(x)}'dx
   = (1/5)sin^5(x)

慣れるまでは、sin(x) = t として、置換積分を素直に実行した方が理解しやすいと思います。

NO.30 11/30(日) 22:12 IP:219.103.8.74 削除依頼
GFKさん

レス遅れてすみません;

26
理解できました。

sin(x) = t として、置換積分を実行したら解けましたー。

ありがとうございますm( _ _ )m

NO.31 GFK 12/01(月) 00:14 IP:123.230.2.241 削除依頼
偶関数:(+)、奇関数:(−)っていうのは >>25 の性質を正負の積
    (+) * (+) = (+)
    (+) * (−) = (−)
    (−) * (−) = (+)
に置き換える(同型)ためなのかな? なるほどー、どっかで見たかも。

    (偶関数)+(偶関数) = (偶関数)
    (奇関数)+(奇関数) = (奇関数)
にも対応してるということなんですね。

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