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数C 行列タイトルNO.42357
    かおり 12/07(日) 23:26 IP:121.116.242.150 削除依頼
誰か分かる方いたらお願いします=3

行列A=(a b)
      (c d)はa+d=ad-bcを満たし、
2×2行列BはA+B=ABを満たすとする。
E=(1 0)
  (0 1)とする。

問1 行列A+Bをa,dを用いて表せ。

問2 行列A2+B2をa,dを用いて表せ。

カッコが二段になっているのは気にしないで1つのカッコとして見てください。
A2とかになっているのは2乗という意味です。


お願いします><

NO.1 GFK 12/08(月) 00:10 IP:61.245.56.235 削除依頼
> 問1 行列A+Bをa,dを用いて表せ。

A+B = AB より (A-E)(B-E) = E となるので、逆行列の性質(定義)から
    B-E = (A-E)^(-1)
であることがわかります。あとは直接成分を計算して B-E がわかり、A+B を求めることができます。


> 問2 行列A2+B2をa,dを用いて表せ。

逆行列の性質(定義)から
    (A-E)(B-E) = (B-E)(A-E) = E
であることがわかり、これを展開して
    A+B = AB = BA (つまり、A, B は可換)

このことから
    A^2+B^2 = (A+B)^2-2AB = (A+B)^2-2(A+B)
   = (A+B)(A+B-2E)
として、問1 の結果が使えます。

※ 一般には (A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2+AB+BA+B^2 なので、いきなり最後の式を使うのはダメ

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