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数学 ベクトルタイトルNO.42375
    マイキー 12/08(月) 21:06 IP:125.201.214.9 削除依頼
途中までわかったのですが最後の問題の
解き方がわからないので教えてください;
※ベクトルの記号は(ベクトル)で表します。


OA=2、OB=3、∠AOB=120°である△OABがある。


(1)OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとすると、内積a・b=-3である。

(2)辺ABの中点をCとし、△OACの重心をGとすると、
OGベクトル=3aベクトル+bベクトル/6 である。


また、直線OG上にOD⊥ADとなるような点Dをとる。
(※図1参照)

(3)ODベクトル=kOGベクトル(kは実数、k≠0)
と置くと、

ADベクトル=(k-2/2)aベクトル+(k/6)bベクトル
と表すことが出来る。

(4)このときk=2となり、|ODベクトル|=√3である。
したがって、OAベクトルとODベクトルのなす角は
30°である。



次の問題のOQベクトルからが
求められませんでした;


また、直線CGと辺OAの交点をP,
直線CDと辺OBの交点をQとすると、
(※図2参照)

(5)
辺CGは重心Gを通るので
OPベクトル=1/2aベクトル

OQベクトル=(?)

であることから、

|PQベクトル|=(?)


わかるかたいましたら教えてください;
よろしくお願い致します。

作図はこちらです(´・ω・`)
http://imepita.jp:80/20081208/758170

NO.1 GFK 12/08(月) 22:02 IP:61.245.56.235 削除依頼
k=2 と求まったので、G は OD の中点です(※ OG を k=2 倍したら OD になる)。このことから
    PG // AD, PG = (1/2)AD
です。また C は AB の中点ですから
    PC // OB, PC =(1/2)OB
でもあります。

これらことに注意すれば、Q がどんな位置にあるかわかります。OA と QD を延長して三角形を作って
みると、整理しやすくなると思います。

NO.2 マイキー 12/08(月) 22:29 IP:125.201.214.9 削除依頼

お返事ありがとうございます*
教えてくださった説明と
図までわかりました。

答は分数になるんですが、
なかなか辿りつけないです…;

NO.3 GFK 12/08(月) 22:40 IP:61.245.56.235 削除依頼
線分の比 OB:OQ を出すか、OQ = OD + 2DC = 2OC - OD(← 全部ベクトル)ってやるか、ですね。

NO.4 マイキー 12/08(月) 22:55 IP:125.201.214.9 削除依頼
PCベクトル=(OC-OP)ベクトル
     =(aベクトル+bベクトル)/2 -1/2aベクトル
     =1/2bベクトル

|OB|=3より|PC|=3/2

OAの延長線と直線DQの交点をRとすると…
△RPCと△ROQは相似であることより|OQ|=xと置くと
2:3/2=3:x

x=9/4

3-9/4=3/3=1
よって|OQ|=3-1=2

∴OQベクトル=2/3bベクトル


無理やり求めてしまった感じなんですが
これでも大丈夫ですかね;

NO.5 GFK 12/08(月) 23:43 IP:61.245.56.235 削除依頼
なかなか豪腕です。相似あたりの数値(「2」や「3」)は、どうやって持ってきたのか怪しい感じ
で、あんまり大丈夫じゃないかも・・・

たとえば、上に述べたように PC // OB ですから
    DC : DQ = DG:DO = 1:2
(したがって OQ = OD + DQ = OC + 2DC)

※ 同様に、ベクトルを経由せずとも PC = (1/2)OB = 3/2

とはいえ、幾何はいろいろと見落としがちなんですよねー

NO.6 マイキー 12/09(火) 01:16 IP:125.201.214.9 削除依頼

とりあえず答えまで辿りつけて一歩前進です 笑

もう一度解きなおしてみます。

教えてくださってありがとうございました*

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