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数学 積分タイトルNO.42416
    2センチ 12/10(水) 21:00 IP:125.29.213.44 削除依頼
 宿題でわからない問題がありました。
●次の曲線の長さを求めよ
 y=x^2/4−logx/2(1=<x=<2)
 y=log{x+(x^2-1)^1/2}(2=<x=<3)

よろしくお願いします。
 

NO.1 i.te.cog 12/10(水) 22:18 IP:221.246.129.20 削除依頼
曲線の長さを求める公式は分かっていると思うので、
被積分部分の変形についてのみ。
y=x^2/4−logx/2(1=<x=<2)
y'=x/2-1/2x=1/2・(x-1/x)
(y')^2=1/4・(x^2+1/x^2-2)
√{1+(y')^2}=1/2・√(x^2+1/2^2+2)=1/2・√(x+1/x)^2=1/2・(x+1/x) (1<=x<=2より絶対値の中は正)

y=log{x+(x^2-1)^1/2}(2=<x=<3)
計算は省略しますが、y'=1/√(x^2-1)
∴√{1+(y')^2}=x/√(x^2-1) (x>0より)
√(x^2-1)=tと置換すると、x^2-1=t^2で、両辺をxで微分すれば、
2x=2t・dt/dx すなわち xdx=tdt
ゆえに、x/√(x^2-1)dx=dt

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