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数学・・・説明お願いします;タイトルNO.42486
    彩名 12/14(日) 20:25 IP:60.113.15.11 削除依頼
なぜ、こうなるのかわかりません。。

4問あるので説明お願いします


問・θは鋭角でtanθ+tanθ分の1=3のとき、
次の式の値を求めよ。

(1)
sinθcosθ

tanθ+tanθ分の1=cosθ分のsinθ+sinθ分のcosθ
=cosθsinθ分のsin二乗θ+cos二乗θ=sinθcosθ分の1=3
よってsinθcosθ=3分の1


(2)
sinθ+cosθ

(sinθ+cosθ)二乗=sin二乗θ+2sinθcosθ+cos二乗θ
=1+2×3分の1=3分の5
ここでθは鋭角なのでsinθ+cosθ>0
よってsinθ+cosθ=√3分の5=3分の√15

(3)
sin3乗θ+cos3乗θ

sin3乗θ+cos3乗θ=(sinθ+cosθ)(sin二乗ーsinθcosθ+cos二乗θ)
=3分の√15×(1−3分の1)=9分の2√15

(4)
sin3乗θ分の1+cos3乗θ分の1

sin3乗θ分の1+cos3乗θ分の1
=sin3乗θcos3乗θ分のcos3乗θ+sin3乗θ
=9分の2√15÷(3分の1)3乗=6√15



以上です。
お願いします。

NO.1 i.te.cog 12/14(日) 21:56 IP:221.246.129.20 削除依頼
説明の使用がありません。その式変形の意味が分からないのでしょうか。

NO.2 彩名 12/14(日) 22:23 IP:60.113.15.11 削除依頼
すみません;

簡単に言うとなんでこのような式や計算になるのかが分からないのです;

NO.3 i.te.cog 12/14(日) 22:53 IP:221.246.129.20 削除依頼
問題ではtanθが出てきていますが、求めたいのはsinθ,cosθが出ています。
すなわち、tanθ=sinθ/cosθを利用しろ!と言っているようなものです。

(1) tanθ=sinθ/cosθとして、あとは通分。
分子はsin^2θ+cos^2θ=1となる。
分母はsinθcosθとなる。

(2) 直接sinθ+cosθは求められないため、
(1)で求めたsinθcosθを使うことを考える。
(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθだから(sin^2θ+cos^2θ=1を利用)、
sinθ+cosθ=√(1+2sinθcosθ)

(3) 変形x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)を利用。
ここで、x=sinθ,y=cosθとすればいい。
すると、(1)(2)で求めたsinθcosθ,sinθ+cosθの形がでてくる。
(別解として、(1)(2)からsinθ,cosθの値を求めることもできます)

(4) 通分すると、分子は(3)で求めた形、分母は(1)で求めた形がでてきくる。

-------------------------------
よくある続き問題です。
上で解いた答えを利用して解いていきます。

ちなみに、別解について:
x=sinθ,y=cosθとして、(1)よりxy=1/3, (2)よりx+y=√15/3
よって、x(√15/3-x)=1/3 ; 3x^2-√15x+1=0
∴x=sinθ=(√5-1)/√2, y=cosθ=(√5+1)/6√2

NO.4 i.te.cog 12/14(日) 22:55 IP:221.246.129.20 削除依頼
(3)は因数分解を使っていますね。
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
ここでx=sinθ,y=cosθとすれば、x^2+y^2=1となります。

NO.5 彩名 12/16(火) 20:09 IP:60.113.15.11 削除依頼
ありがとうございます!

もう一度解いてみようと思います!

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