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微分の証明ですタイトルNO.42491
    ★ち 12/14(日) 23:59 IP:114.151.97.61 削除依頼
Iを開区間、a∈I、f(x):I→RをC^n級関数とする。
f'(a)=f''(x)=・・・=f^(n-1)(a)=0 , f^(n)(a)≠0
と仮定する。このとき次を示せ。

1)nが偶数でf^(n)(a)>0ならば、fはx=aで極小
2)nが偶数でf^(n)(a)<0ならば、fはx=aで極大
3)nが奇数でf^(n)(a)>0ならば、fはx=aのまわりで単調増加
4)nが奇数でf^(n)(a)<0ならば、fはx=aのまわりで単調減少

の示し方がわかりません。
わかる方は教えてください。

NO.1 i.te.cog 12/15(月) 00:30 IP:221.246.129.20 削除依頼
1)だけ示します。残りは似たようなものです。

1)
x=aにおいて、f^(n-1)(a)=0, f^(n)(a)>0だから、f^(n-2)(a)=0は極小値である。
つまり、x=aの周りでは、f^(n-2)(x)≧0
また、f^(n-3)(a)=0だから、f^(n-4)(a)=0は極小値であり、
やはりx=aの周りでf^(n-4)(x)≧0
これを繰り返すと、自然数kに対してx=aの周りでf^(n-2k)(x)≧0
n=2kとなるような自然数kをとれば、nは偶数となり、このときx=aの周りでf(x)≧0
ゆえにx=aで極小値を取る。

繰り返し部分が不安なら、帰納法などを使ってください。
つまり、自然数kに対して、f^(n-2k)(x)はx=aで極小値を取ることを証明すればいいでしょう。

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