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数UですタイトルNO.42496
    ふかみ 12/15(月) 17:50 IP:122.19.168.45 削除依頼
2点A(4,0) B(0.2)と
円x^2+y^2=25 上の点P(x,y)に対し
 → →
k=AP・BP(←ベクトルです) とおく。

このとき、kの最大値、最小値は?

また、最大、最小になるときのPの位置を
それぞれC、Dとすると、
線分CDの長さは?

また、四角形ACBDの面積は?


お願いします;;;

NO.1 i.te.cog 12/15(月) 19:06 IP:221.246.129.20 削除依頼
O(0,0)として、
k=(OP-OA)・(OP-OB)=|OP|^2-OP・OA-OP・OB+OA・OB
OPは円の半径を表すベクトルで、
後の内積は成分による内積計算から求められます。
例えば、OP・OA=(x,y)・(4,0)=4x

NO.2 ふかみ 12/15(月) 20:38 IP:122.19.168.45 削除依頼
すいません;
もう少し詳しく言ってもらえると助かります…;;

NO.3 i.te.cog 12/16(火) 17:47 IP:221.246.129.20 削除依頼
返事が遅くなりましたので、答えを書いておきます。
ベクトル記号は全て省略します。適切に補ってください。

----------------------------------------------
2点A(4,0),B(0,2)と円x^2+y^2=25上の点P(x,y)に対し、k=AP・BPとおく。
(1)kの最大値、最小値は?
(2)また、最大、最小になるときのPの位置をそれぞれC,Dとすると、線分CDの長さは?
(3)また、四角形ABCDの面積は?
----------------------------------------------
(1) O(0,0)として、kをOが始点のベクトルに書き直すと、
k=(OP-OA)・(OP-OB)=|OP|^2-OP・OA-OP・OB+OA・OB
ここで、Pは円上の点だから|OP|=5
OP・OA=(x,y)・(4,0)=4x
OP・OB=(x,y)・(0,2)=2y
OA・OB=0 (直行するから)
したがって、k=25-4x-2y ∴4x+2y+k-25=0 ...[1]
kが最大(あるいは最小)になるには、直線[1]が円に接していればよい。
したがって、円の中心(0,0)から直線[1]への距離は半径5に等しいことを利用して、
|k-25|/2√5=5 ∴k=25±10√5

(2) k=25+10√5のとき、[1]は4x+2y+10√5=0となる。
これを円x^2+y^2=25に代入すると、
x^2+(-2x-5√5)^2=5x^2+20√5x+125=25 ; x^2+4√5x+20=0
(x+2√5)^2=0 ∴x=-2√5, y=-√5
k=25-10√5のときも同様に計算して、x=2√5, y=√5
したがって、C(-2√5,-√5), D(2√5,√5) よって、CD=10(つまり直径)

(少し補足)
[1]よりy=-2x+(25-k)/2、つまり傾きは-2で一定なのだから、
実はCDは直径になるとすぐに分かります。
[1]は円の接線で、接点を通り[1]と直交する直線は円の中心を通ります。
円の中心を通るということは、結局それは直径です(円の性質:直径と接線は直交する)。

(さらに補足)
円の中心が原点で、円上の点(x1,y1)を通る接線はx1x+y1y=r^2
という公式を知っていれば、接点の座標はカンタンに求まります。
例えばk=25-10√5のとき、[1]は4x+2y=10√5ですが、
右辺がr^2となるように両辺を√5/2倍すると、
2√5x+√5y=25
これと上の公式を見比べれば、接点の座標はx,yの係数で(2√5,√5)であると分かります。

(3) ABCDの面積S=△ACD+△BCD
直線CDの式は、y=x/2 ; x-2y=0
A(4,0)と直線x-2y=0の距離は、|4|/√5=4/√5
B(0,2)と直線x-2y=0の距離は、|-4|/√5=4/√5
∴S=1/2・4/√5・10+1/2・4/√5・10=8√5

NO.4 ふかみ 12/16(火) 21:40 IP:122.19.168.45 削除依頼
本当にありがとうございます(TωT)
すごく助かりました!!!

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