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高1▽数1タイトルNO.42656
    ゆな 12/28(日) 13:26 IP:210.153.84.13 削除依頼
初めまして\(^o^)/
数1をよければ教えてください。


1.一辺の長さが1の正方形ABCDの辺AB、BC上にAP=x、BQ=2xっなる2店員P、Qをとる。
線分PQの長さが最小となるときのAPの長さを求めよ。


2.正方形の紙ABCDの辺AB上に点Pをとり、AP、BPをそれぞれ一辺とする正方形を切り取る。
切り取って残った部分の面積が最大になるのは、点Pをどのようにとったときか。


3.ある商品を1個100円で売ると、1日500個の売り上げがある。
この商品の単価を1円値上げするごとに売り上げが2個ずつ減少する。
この商品の売上げ金額が最大になるのは、何円値上げしたときか。

分かるのでも構いません(´;ω;`)
お願いします。

NO.1 刹那 12/28(日) 13:53 IP:121.95.58.183 削除依頼
1.一辺の長さが1の正方形ABCDの辺AB、BC上にAP=x、BQ=2xっなる2店員P、Qをとる。
線分PQの長さが最小となるときのAPの長さを求めよ。

まずPQの長さをxを使って求めてやりましょう。

PB=1−x(0<x<1)、BQ=2x(0<x<1/2)の直角三角形なので三平方の定理を用いて

PQ^2=(1-x)^2+(2x)^2
=(1-2x+x^2)+4x^2
=5x^2-2x+1
=5(x^2-2/5x)+1
=5(x-1/5)^2+1-1/5
=5(x-1/5)^2+4/5 (上のxの範囲より0<x<1/2)
頂点は(x,y)=(1/5,4/5)
また、y=5(x-1/5)^2+4/5のグラフはy<0となる部分はない。
よってPQが最小となるときというのは頂点のときである、つまりx=1/5
AP=x=1/5

NO.2 刹那 12/28(日) 14:07 IP:121.95.58.183 削除依頼
2.正方形の紙ABCDの辺AB上に点Pをとり、AP、BPをそれぞれ一辺とする正方形を切り取る。
切り取って残った部分の面積が最大になるのは、点Pをどのようにとったときか。

1辺の長さをy、APの長さをxとおく。(x、y>0)
切り取った部分が最大、つまり切り取った面積が最小である。よって切り取った面積を計算すると

x^2+(y-x)^2
=x^2+(y^2-2xy+x^2)
=2x^2-2xy+y^2
=2(x^2-xy)^2+y^2
=2(x-1/2y)^2+y^2-1/2y^2
=2(x-1/2y)^2+1/2y^2

よって最小となるのはx=1/2yのときである。
つまりPはABの中点。

NO.3 刹那 12/28(日) 14:16 IP:121.95.58.183 削除依頼
3.ある商品を1個100円で売ると、1日500個の売り上げがある。
この商品の単価を1円値上げするごとに売り上げが2個ずつ減少する。
この商品の売上げ金額が最大になるのは、何円値上げしたときか。

n円値上げすると2n個減少する。
売り上げ=(100+n)(500-2n)
=50000-200n+500n-2n^2
=-2n^2+300n+50000
これをグラフで書くと売り上げは上に凸のグラフとなるので売り上げが最大は頂点のときである。
よって平方完成してやると

-2n^2+300n+50000
=-2(n^2-150n)+50000
=-2(n-75)^2+50000+11250
=-2(n-75)^2+61250

よって75円値上げしたときが売り上げ最大である。

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