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数学 センター問題タイトルNO.42711
    りん 01/05(月) 12:42 IP:121.111.231.95 削除依頼


センター問題が宿題なんですが、答えしかなくて分かりませんorz
どなたか解説していただけると嬉しいです(´・ω・`)

ちなみに2007年です。


△ABCにおいて、AB=2、BC=√5+1、CA=2√2とする。また、△ABCの外接円の中心をOとする。

円Oの円周上に点Dを、直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる。
△ABDの面積をS1、△BCDの面積をS2とするとき S1/S2=√5ー1…@であるとする。
∠BAD+∠BCD=180度であるから、CD=(1)ADとなる。
このときCD=(2)である。

さらに、2辺ADとBCの延長の交点をEとし、△ABEの面積をS3、△CDEの面積をS4とする。
このときS3/S4=(3)…Aである。

@とAよりS2/S4=(4)となる。


ちなみに答えは
(1)1/2
(2)2/7√14
(3)7/2
(4)√5/2 です。


お願いします!!!



NO.1 GFK 01/05(月) 13:53 IP:123.230.2.128 削除依頼
これですね。
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/07/exam/212/5.html

なんでか途中からなんですが、そこまでは OK ってことでいいでしょうか?

    ■ は答の印
    ★ はちょっとだけでもラクな方法の印
です。
-----

    S1/S2 = {(1/2)AB・AD・sin∠BAD} / {(1/2)BC・CD・sin(180-∠BAD)} 
   = {2AD} / {(√5+1)CD}  (※ 直前の∠BAD+∠BCD=180度 など)
   = √5-1  (※ @)
より
    CD = (1/2)AD ■

CD = t とすると AD = 2t であるから、三角形 DAC で余弦定理より
    (2t)^2 + t^2 - 2・(2t)・t・cos120° = (2√2)^2
より
    7t^2 = 8
    CD = t = √(8/7) = (2/7)√14 ■

△ABE ∽ △CDE であるから(方べきの定理や、円に内接する四角形で頻繁に出る形です)
(きちんとやるなら、∠Eが共通、∠ABD = ∠CDE、などから相似と言えます)
    S3/S4 = (AB/CD)^2 = 2^2/t^2 = 4/(8/7) = 7/2 ■

(※ 上で求めた CD を直接入れるよりは t^2 を活用したほうがちょっぴりラク[★])

真面目に S2/S4 を求めても良いのですが、センターも近いことですので、簡便に求めるには・・・
S2/S4 が求めたいので、S4 =「1」と思うと([★])、S3 = 7/2 で(※ 直前の S3/S4 = 7/2)
    四角形ABCD = S3 - S4 = 7/2 - 1 = 5/2

四角形ABCD = S1 + S2 で、S1/S2 = √5-1 (※ @)だったから
    S2 = [1/{(√5-1)+1}] * (5/2) = (1/√5) * (5/2) = (√5)/2
S4 = 「1」と思っていたので
    S2/S4 = (√5)/2 ■

こんな感じでいかがでしょう。

NO.2 GFK 01/05(月) 14:16 IP:123.230.2.128 削除依頼
最後の所、真面目にやりたかったら
    四角形ABCD = S3 - S4 = S1 + S2
において
    S3 - S4 = (S3/S4 - 1)S4 = (5/2)S4,
    S1 + S2 = (S1/S2 + 1)S2 = (√5)S2
を代入する、なんかで良いと思います。やってること自体は同じになります。

NO.3 GFK 01/05(月) 14:36 IP:123.230.2.128 削除依頼
ミスタイプです↓

・・・
(きちんとやるなら、∠Eが共通、∠ABE = ∠CDE、などから相似と言えます)
・・・

NO.4 りん 01/06(火) 01:02 IP:121.111.231.93 削除依頼


うわあこんなに詳しくありがとうございます!!!
やってみます(^ω^)

高1でこの宿題なんですよorz
参っちゃいます←笑

ほんとにありがとうございました!!



NO.5 りん 01/06(火) 01:07 IP:121.111.231.86 削除依頼


S1/S2 = {(1/2)AB・AD・sin∠BAD} / {(1/2)BC・CD・sin(180-∠BAD)} 
   = {2AD} / {(√5+1)CD}

というのは、まず文字で計算するってことですよね><?
{2AD} / {(√5+1)CD}
という答えにありつけません…(沈)
馬鹿ですいませんorz



NO.6 GFK 01/06(火) 08:23 IP:123.230.2.128 削除依頼
問題文の頭にある前提
    「AB = 2, BC = √5+1」
と、sin の関係式
    sin(180°-θ) = sinθ (※ ここでは θ = ∠BAD)
というのをほうり込んだのです。(1/2) と sin は約分で消えてしまいます。

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