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◎数U◎タイトルNO.42917
    ハル 01/25(日) 18:03 IP:219.125.145.63 削除依頼
χ+y+z=-1,χy+yz+zχ+χyz=0のとき,χ,y,zのうち,少なくとも1つは-1であることを証明せよ。


全然わからないんです(´・ω・`)代わりに解いてくださるかたいますか??

NO.1 i.te.cog 01/25(日) 19:41 IP:221.246.129.20 削除依頼
tに関する三次方程式at^3+bt^2+ct+d=0の3つの解をα,β,γとすると、以下の関係(解と係数の関係)が成り立ちます。
α+β+γ=-b/a
αβ+βγ+γα=c/a
αβγ=-d/a
これを用いるとカンタンです。

すなわち、上の関係でα=x,β=y,γ=zとおきなおすと、
t^3+t^2-xyzt-xyz=0
となります。あとは左辺を因数分解して、
(t+1)(t^2-xyz)=0 ∴t=-1, t^2-xyz=0
ここでこの方程式の解はt=x,y,zなので、x,y,zのうち少なくとも1つは-1だと分かります(残りの2つはt^2-xyz=0の解)。


別解(背理法)
「少なくとも」とあるのでその逆を考えて証明することができないかと考えることもできるでしょう。
すなわち、x,y,zはどれも-1でないと仮定して矛盾を導いてみます。
x≠-1, y≠-1, z≠-1だから、x+1≠0, y+1≠0, z+1≠0
よって、(x+1)(y+1)(z+1)≠0
展開して、
xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1≠0
ここで仮定の関係式を左辺に代入すると、左辺は0となってしまい矛盾。
ゆえにx,y,zの少なくとも1つは-1である。


分かりやすい方でどうぞ。

NO.2 刹那 01/25(日) 19:45 IP:121.95.58.183 削除依頼
x+y+z=-1より
x+y+z+1=0

2つめの式に代入し

xy+yz+zx+xyz+x+y+z+1=0
(x+1)yz+y(x+1)+z(x+1)+(x+1)=0
(x+1)(yz+y+z+1)=0
(x+1))(y(z+1)+z+1)=0
(x+1)(z+1)(y+1)=0
よってx,y,zのうち1つはー1である。

正直な話俺も解答思いつきませんでした。なので「少なくとも1つは-1」から答えが(x+1)(y+1)(z+1)=0に最終的に因数分解されると予想し、展開して解答考えました。

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