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数III 積分タイトルNO.42998
      02/06(金) 15:16 IP:118.157.104.163 削除依頼
(1)∫[e→e^e] log(logx) / xlogx dx

(2)∫[-1→2] 3/(1-x+x^2) dx

(3)∫[0→1] 1/(2+3e^x+e^2x) dx

お願いします><

NO.1 i.te.cog 02/06(金) 18:05 IP:125.198.138.157 削除依頼
(1) t=log(logx)とおけば、dt/dx=1/xlogxより、
∫log(logx)/xlogx dx = ∫tdt

(2) 1-x+x^2=(x-1/2)^2+3/4だから、
x-1/2=√3/2tanθ、x=(√3tanθ+1)/2とすると、
x=-1のとき、tanθ=-√3, θ=-π/3
x=2のとき、tanθ=√3, θ=π/3
dx/dθ=√3/(2cos^2θ)
以上から、
∫[-1->2] 3/(1-x+x^2) dx
=∫[-π/3->π/3] 4/(tan^2θ+1) ・√3/(2cos^2θ) dθ
=2√3∫[-π/3->π/3]dθ

(3) e^x=tとおくと、積分区間は1からeへ、x=logtだから、dx/dt=1/t
dx/(2+3e^x+e^2x) = dt/t(2+3t+t^2) = dt/t(1+t)(2+t)
=1/t・{1/(1+t)-1/(2+t)} dt
={1/t(1+t) - 1/t(2+t)} dt
=1/t - 1/(1+t) - 1/2・{1/t - 1/(2+t)} dt
=1/2・1/t - 1/(1+t) + 1/2・1/(2+t) dt

NO.2   02/06(金) 18:22 IP:118.157.104.163 削除依頼
ありがとうございます!
(2)のような問題の置き換えが思いつかないのですが、コツとかありますか?
いろいろなパターンを解いて慣れるしかないでしょうか?

NO.3 i.te.cog 02/06(金) 21:08 IP:125.198.138.157 削除依頼
それが一番でしょう。

が、(2)はもっとカンタンな置換方法がありそうな気もします。

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