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数V・面積タイトルNO.43006
     02/07(土) 14:57 IP:219.108.157.47 削除依頼
どなたかお願いします;;

a,bを正数とする。
y=acosχとy=bsinχによって囲まれる部分の面積を求めよ。ただし0〈χ〈2πとする。


NO.1 刹那 02/07(土) 15:20 IP:121.95.58.183 削除依頼
y=acosχとy=bsinχによって囲まれる部分の面積を求めよ。ただし0〈χ〈2πとする。

acosx=bsinxとすると@
a^2cos^2x=b^2sin^2x
a^2(1-sin^2x)=b^2sin^2x
a^2=b^2sin^2x+a^2sin^2x
sin^2x=a^2/b^2+a^2
sinx=+−√{a^2/(b^2+a^2)}

2つの交点をα、Βとし
sinα=√(a^2/(b^2+a^2),sinΒ=-√(a^2/(b^2+a^2)
とする。

∫(bsinx-acosx)dx[α〜Β]
=[-bcosx-sinx](α〜Β)
=-bcosΒ-asinΒ+bcosα+asinα
=b(cosα-cosΒ)+a(sinα-sinΒ)

α、Βは@の解なので
acosα=bsinα,acosΒ=bsinΒ
をcos=〜sinの式にしてやり代入する。
sinα、sinΒは値分かってるので出せます。

こっからさらに計算ややこしくなりそうですね・・・もっと簡単なやり方あるかもです。

NO.2 i.te.cog 02/07(土) 16:28 IP:125.198.138.157 削除依頼
やっていることは上の方と同じですが。

2曲線の交点をs,t(s<t)とすると、求める面積は、
∫[s;t](bsinx-acosx)dx
=[-bcosx-asinx]
=-bcost-asint+bcoss+asins ...[*]

s,tはacosx=bsinxの解であるから、acoss=bsins, acost=bsintを満たす。
[*]に代入して、
=-b(bsint/a)-asint+b(bsins/a)+asins
=1/a・{-(a^2+b^2)sint+(a^2+b^2)sins}
=(-sint+sins)・r^2/a ...[**] (a^2+b^2=r^2)

さて、与式をcos^2x+sin^2x=1に代入して整理すると、
y^2=a^2b^2/(a^2+b^2)=a^2b^2/r^2
となるから、y=±ab/r
よって、
bsins=ab/r, sins=a/r
bsint=-ab/r, sint=-a/r
これらを[**]に代入すれば、
=2a/r・r^2/a=2r=2√(a^2+b^2)

NO.3 02/07(土) 16:41 IP:219.108.157.48 削除依頼

結構ややこしい問題だったんですね↓

交点がよくわからなかったので本当に助かりました!
ありがとうございました!

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