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対数方程式の基本なんですが…タイトルNO.43017
    あき 02/08(日) 12:39 IP:210.136.161.97 削除依頼
log<10>(x+2)(x+5)=1

の答えはx=1、-7らしいのですが、答えには真数条件が(x+2)(x+5)と書いてありました。

でも

log<10>(x+2)+log<10>(x+5)=1

にすれば真数条件はx>-5になりますよね?
チャートにもlog<a>x(x-b)として真数条件をx(x-b)>0としてはいけないと書いてあり…

どちらが本当なのでしょうか?
解説お願いします

NO.1 i.te.cog 02/08(日) 15:17 IP:125.198.138.157 削除依頼
対数の性質から、(底10は省略します)
log(x+2)(x+5)=log(x+2)+log(x+5)
とできます。それぞれについて真数条件を考えると、
(x+2)(x+5)>0 ∴x<-5,-2<x
x+2>0 ∴x>-2
x+5>0 ∴x>-5
となり、左辺の条件はx<-5,-2<x、右辺はx>-2と変わってしまいます。

なぜこうなるのかというと、乗算は負数と負数を掛けると正数になることに由来します。

今回の質問では、方程式を
[1]log(x+2)(x+5)=1
で解くのならば、真数条件は(x+2)(x+5)>0が正しいです。しかし、
[2]log(x+2)+log(x+5)=1
で解くならば、真数条件はx>-2としなければなりません。

[1]でも[2]でも、方程式の解き方としては、
log(x+2)(x+5)=log10
として、真数を比較し、x=-7,0となりますが、
[1]ならば、x=-7,0
[2]ならば、x=0
が正解となります。それは与えられた問題の形によって判断しなければなりません。

もっと端的に言えば、
生徒「先生! x=-7は[2]の形にすると真数条件を満たさないんだけど!」
先生「問題は[1]ですよ! だれも[2]の式で問題出してません!」
ということです。

NO.2 あき 02/08(日) 16:05 IP:210.153.84.102 削除依頼
1さん

わかりやすい解説ありがとうございます
よくわかりました!

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