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大至急です盗這UタイトルNO.43035
     02/10(火) 18:44 IP:210.153.84.178 削除依頼
下の5問の解説⇒解答を
教えて下さい⊂(^ω`⊂
■次のことを証明せよ。
(1)a>b>0 のとき a`2>b`2
(2)a>x>b,c>y>d のとき
a-d>x-y>b-c

■次の不等式を証明せよ。[1]4a`2≧3b(4a-3b)
[2]x`2+10>6x
[3]2a`2+2ab≧-b`2

NO.1 刹那 02/10(火) 19:16 IP:121.95.58.183 削除依頼
(大きい方)−(小さいほう)が0より大きくなるように証明すれば全て解けます。

0より大きいっていうためには2乗の形を作る、条件から0より大きいのがわかる形にする。

NO.2 02/10(火) 19:30 IP:210.136.161.225 削除依頼
上の問題のほうが
よくわかりません!!!
詳しく教えて
いただけませんか(・・?

NO.3 刹那 02/10(火) 19:45 IP:121.95.58.183 削除依頼
下3問は全部2乗になるから大丈夫かな?

(1)a>b>0 のとき a`2>b`2
大きいほうー小さい方をすればいいので
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a+bはどちらも0より大きいので0より大きい。
a-bは条件からaのが大きいので0より大きい。
よって正*正なので0より大きい。

(2)a>x>b,c>y>d のとき
a-d>x-y>b-c

3つあるのでちょっとわかりづらいですが2回にわけて証明すればいいだけです。
まず(a-d)-(x-y)=(a-x)+(y-d)>0(条件から)
(x-y)-(b-c)=(x-b)+(c-y)>0(条件から)
よって成り立つ。


NO.4 02/10(火) 19:54 IP:210.153.84.162 削除依頼
ありがとうございます♪
下の問題は
[1]4a`2-12ab+9b`2
(2a-3b)`2
a=-3/2b≧0
よって成り立つ。
合っていますか??
[2]と[3]の解説も
お願いできますか(・・?

NO.5 刹那 02/10(火) 20:14 IP:121.95.58.183 削除依頼
あーおしいですね。まずA^2っていうのは絶対に0より大きいんですよね。

なので(2a-3b)`2>0(ここでもうすでに0より大きいと言える)

[2]x`2+10>6x
ひけばいいのでx^2-6x+10(できれば2乗にしたいけど(1)みたいな2乗の形にできない)
なのでxの部分だけで2乗の形をつくると
(x-3)^2-9+10
=(x-3)^2+1
(x-3)^2は0より大きくそれに+1されたものなので0よりおおきい。

[3]2a`2+2ab≧-b`2
2a^2+2ab+b^2
これもちょっとやらしい形になってますね。まず2a^2=a^2+a^2となるのに注意し
a^2+(a^2+2ab+b^2)とすると
a^2+(a+b)^2どちらも0より大きいので0より大きい。

NO.6 02/10(火) 20:21 IP:210.153.84.167 削除依頼
なるほどーっ☆
分かりましたッ(・∀・)

後2問教えて下さい
■次のことを証明せよ。
[1]a>b>1/2 のとき
a(a-1)>b(b-1)

□0<a<b,a+b=1 のとき
ab,1/2,(a`2+b`2)/2
の大小を不等号を用いて 表せ。

NO.7 刹那 02/10(火) 20:38 IP:121.95.58.183 削除依頼
[1]a>b>1/2 のとき
a(a-1)>b(b-1)
まず普通に引きましょうか。
(a^2-a)-(b^2-b)
=-(b^2-a^2)+(b-a)
=-(b-a)(b+a)+(b-a)
=-(b-a)(b+a+1)
b+a+1>0,b-a<0より0より大きい(負*負*正)

0<a<b,a+b=1 のとき
ab,1/2,(a`2+b`2)/2

a+b=1よりa=(1-b)
abに代入すると(1-b)b=-b^2+b
(a^2+b^2)/2に代入すると{1-2b+b^2+b^2}/2
=(2b^2-2b+1)/2=b^2-b+1/2

(a^2+b^2)/2-ab=2b^2-2b-1/2
=2(b-1/2)^2>0

(a^2+b^2)/2-1/2=b^2-b=b(b-1)
b>0,a+b=1より0<b<1(bが2とかだとaが負の数でなくてはいけないので1より大きくなることはない)
なので0より大きい。

1/2-ab=b^2-b+1/2=(b-1/2)^2+1/4>0
よって(a^2+b^2)/2>1/2>ab

NO.8 刹那 02/10(火) 20:47 IP:121.95.58.183 削除依頼
NO7訂正(PCで計算しながら書くと間違うなあ・・・;)

(a^2+b^2)/2-ab=2b^2-2b+1/2
=2(b-1/2)^2>0

(a^2+b^2)/2-1/2=b^2-b=b(b-1)
b>0,a+b=1より0<b<1(bが2とかだとaが負の数でなくてはいけないので1より大きくなることはない)
なので0より小さい。

よって1/2>(a^2+b^2)/2>ab

NO.9 02/10(火) 20:48 IP:210.153.84.69 削除依頼
分かりやすい解説
ありがとうございます★
まだあるのですが;;
考えたけど分からなかったので教えて下さいッ**
◆a+b+c=0 のとき次の等式を証明せよ。
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0

◆a>b,c>dのとき次のうち正しいものはどれか。
[1]-a>-b
[2]a`2>b`2
[3]a+d>b+c
[4]a-d>b-c
[5]ac>bd
[6]1/a>1/b

NO.10 刹那 02/10(火) 21:02 IP:121.95.58.183 削除依頼
◆a+b+c=0 のとき次の等式を証明せよ。
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0
これは意外と簡単ですよ。
条件からb+c=-a,c+a=-b,a+b=-cなので代入すると
-a(-b)(-c)+abc=-abc+abc=0

◆a>b,c>dのとき次のうち正しいものはどれか。
[1]-a>-b
[2]a`2>b`2
[3]a+d>b+c
[4]a-d>b-c
[5]ac>bd

これはだるいけど1個ずつ確かめていくしかないですかね。[1]-a+b=b-a<0(条件より)よって不適
[2]a^2-b^2=(a-b)(a+b)
a=-1,b=-2とかだとa-b>0だけどa+bは負になる。条件だけでは負にも正にもなってしまうので不適
[3](a+d)-(b+c)=(a-b)+(d-c)
これもa-bは正だがd-cは負。
正+負は必ずしも正になるわけではないので不適
[4](a-d)-(b-c)=(a-b)+(c-d)>0なのでおk

[5]ac-bd
ちょっとわかりづらい形式ですがa,b,c,dが正だった場合(大きい*大きい)−(小さい*小さい)>0っていうのは成り立ちます。ですが負だったり正と負だったりする場合もあります。
具体的に数字をいれてみましょうか
a=-1,b=-2,c=-3,d=-4だった場合
3-8=-5<0なのでこれも不適。

NO.11 02/10(火) 21:15 IP:210.153.84.181 削除依頼
すみませんっ(>_<)
納得できました**

あと!!また証明なんです
けど、途中までしか
分からないんで答えまで
導いてもらえますか??
◆a+b+c=0 のとき次の等式を証明せよ。
a`2(b+c)+b`2(c+a)+
c`2(a+b)+3abc=0
【証】
a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
a`2(-a)+b`2(-b)+c`2(-c)+3abc=-a`3-b`3-c`3+3abc
ここから先が
分かりません(x△x;

NO.12 刹那 02/10(火) 21:26 IP:121.95.58.183 削除依頼
そこまでいったら後一息w

=-a`3-b`3-c`3+3abc3乗に-ついてるの嫌なのでくくっておきますか

=-(a^3+b^3+c^3-3abc)
ここで形は悪いのでわかりづらいですが
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)と気づけたら後ろのc^3-3abcがもしc=a+bとかだったら同じ形になりますよね!
そこで最初の条件からc=-a-b
-c=a+bとし
-{a^3+b^3-(-c)^3+3ab(-c)}
=-{a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b)}
=-{(a+b)^3-3ab(a+b)-(a+b)-3+3ab(a+b)}
=0って感じですかね。

NO.13 02/10(火) 21:30 IP:210.136.161.231 削除依頼
すごいですねっ*
ほんと分かりやすいです☆後4問もあるのですが
大丈夫ですか(・・?
よかったら教えて下さい!!
◆次のことを証明せよ。
(y+z)/(b-c)=
(z+x)/(c-a)=
(x+y)/(a-b) のとき
x+y+z=0

◆0<a<b,a+b=2のとき
1,a,b,ab,(a`2+b`2)/2
の大小を不等号を用いて 表せ。

NO.14 刹那 02/10(火) 21:49 IP:121.95.58.183 削除依頼
(y+z)/(b-c)=(z+x)/(c-a)=(x+y)/(a-b)=k とすると
y+z=k(b-c),z+x=k(c-a),x+y=k(a-b)

これを全部足すと2(x+y+z)=k(b-c)+k(c-a)+k(a-b)
右辺を展開すると0になる。
よって
2(x+y+z)=0
x+y+z=0

◆0<a<b,a+b=2のとき
1,a,b,ab,(a`2+b`2)/2
の大小を不等号を用いて 表せ。
なんかどっかでみたような問題ですねw
まずa,bはa<b
条件からa=2-bをab,(a^2+b^2)/2に代入し
ab=b(2-b)=-b^2+2b
(4-4b+b^2)+b^2/2=(2b^2-4b+4)/2=b^2-2b+2

(a^2+b^2)/2-1=b^2-2b+1=(b-1)^2>0
1-ab=b^2-2b+1=(b-1)^2>0
(a^2+b^2)/2-b=b^2-3b+2(b-3/2)^2-5/4
bの値によって正か負かわからないので判断ができません。a,bの大小関係も求める問題になってますか?

NO.15 02/10(火) 21:52 IP:210.153.84.65 削除依頼
また後で解き直してみます(^_-)-☆
最後の2問です★☆★
◆a>0,b>0,c>0,d>0のとき 次の不等式を証明せよ。
[1]{a+(2/b)}
  {b+(8/a)}≧18
        
[2]{(b/a)+(d/c)}
{(a/b)+(c/d)}≧4

お願いします(´∪`)

NO.16 刹那 02/10(火) 21:58 IP:121.95.58.183 削除依頼
[1]{a+(2/b)}{b+(8/a)}≧18
左を展開するとab+8+2+16/ab
=10+(ab+16/ab)
相加相乗平均より
ab+16/ab>=2√(ab*16/ab)=2√16=8
よって10+(ab+16/ab)>=18
        
[2]{(b/a)+(d/c)}{(a/b)+(c/d)}≧4
上と同じく左を展開すると
1+bc/ad+ad/bc+1
=2+(bc/ad+ad/bc)
相加相乗平均より
bc/ad+ad/bc>=2√(bc/ad*ad/bc)=2
よって2+(bc/ad+ad/bc)>=4

NO.17 02/10(火) 22:13 IP:210.153.84.81 削除依頼
ほんとっっ☆★
助かりました(^ω^)
また何かわからないことがあったら来るので
教えて下さい(`・ω・´)
ありがとうございました♪

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